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「おもしろ複素数平面」の第3回は、1のn乗根の問題を体系化します。 数学塾出会った数学が面白いほどわかるシリーズです。 高橋希美 ★☆★☆↓↓↓↓ 大学受験に４度失敗した後、大阪府立大学工学部数理工学科に入学。 在学中から予備校講師を目指して塾や予備校の数学教師を経て、30歳で獣医学部予備校VETを設立。 校舎は大阪に1校しかないが、合格率の高さから北海道から沖縄まで全国から人が集まる予備校に発展した。 数学で悩んでいる多くの人たちの助けになればと思い、デンジャラスクイーンの愛称で数学の授業動画を配信している。 モットーは、高品質で包括的なビデオを作成することです。
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複素数って答え自体はめちゃくちゃ簡単だから超気持ちいい
最後のマジであたまいいよね
複素数はチャートやめて 先生の動画にある問題解けるようにしようと思います😇
早いですが停止しながらゆっくり考えたらお陰様で理解できました。あざます
わかりやすかったので復習用に時々見させて頂きます！
備忘録70V" 【 ド･モアブルの定理 】 ⑴ z⁵ ＝ 1 省略■
〖 参考 〗z＝ cos2π/5 ＋i sin2π/5 のとき、zⁿ＝ cos2π/5・n ＋i sin2π/5・n
( zⁿ )⁵ ＝ cos2π･n ＋i sin2π･n ⇔ ( zⁿ )⁵ ＝ 1 だから、
zº, z¹, z², z³, z⁴ は、x⁵ ＝ 1 の異なる五つの解である。⑵ z⁴ ＝ －8＋8√3 i 省略■
⑶〖 別解 〗 z⁶＋z³＋1＝ 0 ⇔ ( z³－1 )( z⁶＋z³＋1 )＝ 0, z³ ≠ 1 ⇔ z⁹ ＝ 1, z³ ≠ 1
よって、 z＝ cos40°･n＋i sin40°･n ( n＝ 1, 2, 4, 5, 7, 8 )
⑷ z⁵ ＝ 1 だから、( z－1 )( z⁴＋z³＋z²＋z＋1 )＝ 0, z≠ 1 だから、z⁴＋z³＋z²＋z＋1＝ 0 ■
これより、 ( z＋z⁴ ) ＋ ( z²＋z³ )＝ －1 ⇔ ( z＋z* ) ＋ ( z²＋z²* )＝ －1
⇔ 2・cos2π/5 ＋2・cos4π/5 ＝ －1 ⇔ cos2π/5 ＋ cos4π/5 ＝ －1/2 ■
z⁴＋z³＋z²＋z＋1＝ 0〖相反形〗 ⇔ ( z＋1/z )² ＋( z＋1/z ) －1＝ 0 ( ∵ z≠ 0 )
これより、 w²＋w－1＝ 0 ･･･① ∴ w²＋w＝ 1 ■ ①より、w＝ (－1 ± √5 )/2
ここで、w＝ z＋z* ＝ 2・cos2π/5 だから、cos2π/5＝ (－1＋√5 )/4 ■
⑸ z＝ cos2π/5・n ＋i sin2π/5・n ( n＝ 0, 1, 2, 3, 4 ) とおくことができて、
z⁵＝ 1 より、 1, z¹, z², z³, z⁴ は、 x⁵ ＝ 1 の異なる五つの解である。
( x－1 )( x⁴＋x³＋x²＋x＋1 )＝ 0
( ⅰ ) x＝ z＝ 1 のとき、A＝ 2・2・2・2＝ 16 ■
( ⅱ ) x＝ z≠ 1 のとき、x⁴＋x³＋x²＋x＋1＝ ( x－z¹ )( x－z² )( x－z³ )( x－z⁴ ) ･･･①
z⁵＝ 1 より、A＝ ( 1＋z¹ )( 1＋z² )( 1＋z⁴ )・( 1＋z³ ) ＝ 1 ■( ∵ ①で x＝ －1 )