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わかりやすい！
06:50 結論
数学科出身の方が教える数学、
教育学部出身の方が教える数学、
医学部出身の方が教える数学はちょっと違うってこういう所なんですかね
ｵﾝﾓｼﾚーwwww
少し古い本でが、稲葉三男著「微積分の根底をさぐる」では、積分定数の問題を含めて、微積分の教え方に多くの問題があることが指摘されています。
g(x) = ∫(1/x)dx は、微分方程式 dg(x)/dx = 1/x の解だという意味だとすれば、
初期値問題の解は、初期値 g(a) = b の a が a > 0 のときには x > 0 の範囲でしか、
a < 0 のときには x < 0 の範囲でしか存在しない。
一般解は g(x) = log(x) + C1 {定義域はx>0} または g(x) = log(-x) + C2 {定義域は x<0}
であって、g(x) = {x>0のとき} log|x| と g(x) = {x<0のとき} log|x|+1 は別個の特殊解であり、
くっつけて g(x) = {x>0のとき} log|x|, {x<0のとき} log|x|+1 としてはいけない。
その意味で、そもそも ∫(1/x)dx = log|x| + C と書く書き方が誤解のもと。
∫(1/x)dx = log(±x) + C {式中の±は定数Cとともに初期条件によって定まる} とすべき。
ある区間はそれぞれ連続しているということですね。
論点が違う。きっと微分方程式の一般解と特殊解の話に似た話を見つけたと思ったのだろう。
つまり不定積分の表示に使われてる=は普通の=ではなくて
f=g <=def=> f-g は定数;
で定義されてるってことか。
学校で定積分→不定積分って習ったほうがいいような、不定積分は微分計算の逆という意味しかないと思ってた
「g(x)=f(x)+定数」と言っているが、そもそも、x=0を超えたときに1ずれる時点で、定数っぽく見えるものは定数ではない。
「ヘヴィサイドの階段関数」といって、xが負のときは0、正のときは1になる、階段状の関数がある。H(x)で表す。その導関数はデルタ関数δ(x)。
「g(x)=f(x)-H(x)」となる。
g'(x)も単に1/xではなく、「g'(x)=1/x-δ(x)」が正しい。
リーマン積分の諸定理をリーマン可積分の定義からスタートしてすべて厳密に議論していくのは案外難しい。自分も結構時間かけて勉強したけど何も見ずに教科書の内容をすべて再現しろといわれたらつっかかりそう。
Any two indefinitely integrals differ by a constant.
これは知らなんだわ😵
なんで教科書ってあんなに難しく書くんだろう❗丁寧に分かりやすいイメージまったくないわ！
たぶん数学者がこんなの簡単だよね？みたいに書いてるんだろうが、
教科書をもっと分かりやすく、教員も分かりやすく教えていかないと、
国語力のない人たくさんいるから、
本当に理解できないんですよ。
サムネ向き逆でしょ…….
ほーみーずさんの動画で古賀さんの名前が出ていました！
45秒のところです！
https://youtu.be/hUOjEimhncQ
まあ積分定数が悪さしてるだろーなっていうのはわかったけど、厳密に説明しろって言われるとわからん
定積分 ∫ f(t)dt (積分範囲はaからx) を、F(x)とした時、
f(x)が連続関数でなければ、
(F(x)をxで微分した関数)=f(x) となる保証がない。
高校の教科書流の積分の定義では、暗黙にf(x)が連続関数であると仮定されているのでは!?…と思ってしまいます。
高校で勉強する不定積分は、大学流の定積分の上端を変数と見るというものよりかは、原始関数というイメージがあります。
ボーッと見て、えぇっと違いはなんだっけ？ってなった。
つまりは ∫f(x)dx －∫f(x)dx ＝ 0 にしてはいけないってことかな。
∫f(x)dxが同じだと原始関数F(x)は同じであっても積分定数Cはそれぞれの項で異なるので、
∫f(x)dx －∫f(x)dx ＝ （F(x)＋C）－（F(x)＋C'） ＝ C－C’ ＝ 1 とすべきところをF(x)－F(x)＝0としたために0＝1となってしまった、と考えました
数学にはこういう厳密性と利便性のトレードオフみたいなことが結構ありますね！
原始関数の場合、Fをfの一つの原始関数とするならば ∫f(x)dx=F(x)+C ではなくて ∫f(x)dx={F(x)+C|Cは任意の実数}
と集合として表記したほうが良いのでしょうが、いちいちこんなふうに書いていたら面倒ですもんね。
ちなみにn乗根にもこのようなトレードオフがありますよね。
例えば n√(-1):-1のn乗根 を考えてみると、n>2 ならば通常 n個の解を書きます。
つまり 4√(-1) = {e^(π/4), e^(3π/4), e^(5π/4), e^(7π/4)} ですが、
n=2 のときは √(-1) = {e^(π/2), e^(3π/2)} とはせずに
√(-1) = e^(π/2) = i
-√(-1) = e^(3π/2) = -i
と、集合ではなく値として等しい、という扱いですよね。
ほとんど無意識にやってますが、実のところかなり奇妙な慣習だと思います！
ただこれも色々な面でこのように定義を使い分けたほうが利便性が高まるのでしょう。
（あるいは教育的な面とか）
様々な局面で等号が何を意味しているのか、常に意識することが大事ですね！
（コメントする場所間違えたので再投稿しました。すみません。）
高校は不定積分から始まるので不定積分に入った時「あー定積分に比べて計算めんどくさいなー」くらいしか思ってなかったけど、大学入ってからの講義で区分求積法的な考えで定積分から定義していくと「あれ？定積分はいいけど不定積分ってなんなんだ？」って意味がわからなくなった
たとえば、三角関数を含む有理式の置換積分で有名なtan(x/2)=t
これを含む不定積分が求まったからと言って、何も考えずに定積分をそのまま代入して求めるのは危険です。
なぜならば連続でない区間が含まれる場合があるからです。
f(x)=1/(5 +4cosx)として
不定積分∫ f(x)dx=F(x)は
nを奇数としてx=nπで不連続になります。
なので定積分
∫[0, 2π, f(x)dx]=F(2π) -F(0)とするのは誤りです。
この動画のびそう(名推理)
f(x)=1/x
の不定積分を答える時は、x<0のときと0<xのときで積分定数を分ける必要があるということですか？
関連し、次のことを思います。任意の実数は、無限小のズレを無視しているのでは？例えば、1=1＋dx
そもそもなぜ原始関数を任意にとってくるとそれらは定数のずれしかないのか、というのも意外と答えられなかったりしそう
東大あたりが入試で出題しないだろうか 簡単すぎるか
自分用メモ👏。 まさに、⭕️無用の用⭕️
普段あまり役に立たないように見えるが、大切な役割を果たしている C君。
前半のＩは、普通に積分すると、log|logx| +C ❣️ deフィニッシュ🙌
微分という操作は線形なのでベクトル空間の準同型定理から得られる定数(関数)分のずれ(核)を無視する線形空間のことを不定積分だと自分は解釈してます
最初の例も０と１の上にバーでも付けとけば問題ないやろ
とても有難いです！
勉強になりました^ ^
曖昧になってたところが理解できて本当に良かった
最高
サムネが横向きのインテグラルである
感覚を厳密に説明されていてありがたいです
勉強になりますねぇ^^
☺️
半世紀前の京大の問題っぽいですね
レッツインテグラル