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2014年の東大入試問題は、座標＋ベクトルで解くとすぐに答えが完成するので楽しい問題でした。 （本試験で解いた受験生として） 今回は入試直前の対策として「本試験でどう解くか」という観点から受験生に解説しました。 実用的な観点から解決してみてください。 本日の通帳はこちら↓ ~~~~~~~~ ■東大合格→医大に首席で進学した僕の超戦略的勉強法（宇佐美天吾＋PASSLABO著） 書店でも購入できます全国的に。 ■早期購入者特典受け取りフォーム（2020年10月24日まで） ↑こちらのフォームからのみ受け取れます。 本を受け取った後、フォームに記入してください。 ■サイン本プレゼント企画（2020年10月3日まで） ■試し読みはこちら ～～～～～～～～～～～～～～～ ■東大医学部「朝の10分」受験勉強カフェPASSLABOチャンネル登録→東大生と一緒に勉強したい方必見！ 公式LINE@登録はこちら→（LINE LIVEで勉強法や質問・相談を配信！！） ======[Your comments may be reflected in the video! ]ご不明な点や問題点の説明のご要望がございましたら、お好きなだけ投稿してください。 一つ一つチェックして参考になれば動画にします^ ^ ====== ■偏差値43から東大合格までの勉強法を知りたい方へ → ■公式Twitterはこちら→ == ========= ■PASSLABO会員情報（note） ※気になる会員のnoteをチェック！ 「1」宇佐美昴 東京大学医学部 / PASSLABOマネージャー → 「2」桑内早稲田 / PASSLABOカッティングキャプテン → 「3」エイダマン東大逆転合格 / PASSLABO歌のお兄さん → 4」 くまたんが東大文一に1点差？ / PASSLABO 癒しキャラ → =========== #PASSLABO #東大発 #まとめコラムも要チェック♪ ほぼ毎日朝6時半に投稿中！動画で朝活しよう！
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【合否を分ける１問】京大レベルの有名図形問題。
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【訂正】0°<θ<90°なので、tの範囲は
1<t≦√2になります！(等号つきません)
ご指摘いただいた方ありがとうございます。
(訂正はこちらで統一させていただきます)
ぜひ本番では注意してください！
Iって内心なんですね！書いてなかったから座標Iを(X.Y)って置いちゃいました😅
tの範囲ミスってないですか？1にイコールは付かない？
そもそも内心が何かわからん
座標でやったけど、Aの座標とBの座標を置いた2変数関数にして終わったァーってなった
京大実戦2013？
直線AI引いてθ/2使ってやりました
入試の際に適用しない方がいいのは大賛成ながら初等幾何を使うと：
内接円と外接円の半径をそれぞれrとR、外心をOとおく。
中線定理からAI^2+BI^2=2R^2+2OI^2で、
オイラーの定理からOI^2=R^2-2Rrであることと
CI=√2rであることを用いれば、
AI^2+BI^2+CI^2=4R^2-4Rr+2r^2
=2(r-R)^2+2R^2とでき、rの最大を考えればよいことがわかる。
（以下省略）
オイラーの定理（オイラー=チャップルの定理）は内接円、外接円、
傍接円を用いた美しい証明がありますが、
試験時間にこれまで書くのは現実的でないでしょう。
受験上で大切なのは、これらの事実から内接円半径に全てを委ねることができることが
（それが最善かどうかは別途判断が必要ですが）パッと目で見て感じ取れることです。
一応別解を。
AB=1、∠C=90°でθを変化させると、CはABを直径とする半円周上を移動する。この時∠IAB+∠IBA=45°一定なので∠AIB=135°一定、つまりIは半径1/√2の四分の一円周上を移動する。ABをx軸上にとりABの中点を原点、Iの回転移動の中心をDとすると、A(-1/2,0),B(1/2,0),D(0,-1/2)と表せる。
IからAB,AC,BCに下した垂線の足をそれぞれP,Q,Rとすると、IP=IQ=IRかつCQIRは正方形なので、
AI²=AP²+IP²,BI²=BP²+IP²,CP²=CQ²+IQ²=2*IP²、つまりAI²+BI²+CI²=AP²+BP²+4*IP²。
AP=x+1/2,BP=x-1/2,IP=√((1/√2)²-x²)-1/2=√(1/2-x²)-1/2と表せるので、
f(x)=AP²+BP²+4*IP²=(x+1/2)²+(x-1/2)²+4(√(1/2-x²)-1/2)²=-2x²+7/2-4√(1/2-x²)。
f'(x)=-4x+4x/(√(1/2-x²))、よってf'(0)=0。
f(1/2)=f(-1/2)=1,f(0)=(7-4√2)/2<1なので、f(0)=(7-4√2)/2が求めるf(x)の最小値。
AB固定した場合のIの軌跡が円弧になるのが最初に見えてしまって、計算が途中で嫌になりましたが最後まで突き進んでみました。試験でこれをやったらダメな例ですねｗ
sinθ+cosθ=(rの式)に整理して、
もとの式に代入したらrの二次関数出て少し計算楽になりません？
rの範囲は出さないといけないけど
最小になるのが内心になることの説明は？
Iが内心で条件はどこで出てくるんですか？（°ω°）
これ早稲田理工で見たことある
一応、図形でも行けますね！！
内接する三角形の半径をrとおく。
直角三角形より、AB^2+BC^2=1…①
∠ABC=90°より、∠ABI=∠CBI=45°
よって、BI^2=2r^2
AI^2=r^2+(AB－r)^2
CI^2=r^2(BC－r)^2
AI^2+BI^2+CI^2=6r^2－2r(AB+BC)+1…②
AB+BCが最大の時、②は、最小。
AB+BC=Kとおく…③
0<AB<1
0<BC<1
1<K
よって、この範囲で、①と③が接する時Kは、最大。
この時、k=√2
BC=AC
よって、AB=BC=1/√2
△ABCの面積は、
AB×BC×1/2
r/2(AB+BC+1)と表せれるので、
r=1/2(√2+1)
よって、②より、最小値は、
7－4√2/2
難関大問題の最初の着眼点に多くの学びがありました。
いつもありがとうございます！
全ての図形問題を初等幾何で解く謎の勢力()
2変数関数で処理する方もやってみると数学的思考力が高まりそうですね(やることは大して変わりませんが)
I って内接円の中心って意味なんですね
1:57来れといた。余弦定理解くのだるかったやつ。（時間掛る1番しちゃいけない解法？）でもこれほんとに楽しかった。
座標をθで表す発想は出てこんわw
気持ちえぇぇ
結論から言うと、どの方法でもどんな文字設定をしても結局同値性から必要十分な式に集約されるから答えにはたどり着くんだよね。
ただ、問題の初期設定によってそれぞれ作業量が違うから上手い方法が選べたらいいねってことかな
一般論として座標に置くとメリットがあることがあるのは同意だが、この問題に関してはすべての辺についてΘの変数表示するだけでいいので、特に座標においた意味があったようには思えない
無知ですみません
合成って何ですか
θで置かずにA(a,0)B(0,b)と置いて4次の相加・相乗平均使えばA=B=1/√2てわかる
あとは辺の式で直ぐにわかる
追記：Iが内心やと分からんかったから、変な求め方してもうたやん
半径1/2の円の外接円を考えて、相加相乗平均AI2+BI2+CI2>=3×(AI2×BI2×CI2)の三乗根が成立するから
不等号がイコールになるのはAI=BI=CIの時。1/2の時で、最小値3/4
これの式の何がダメだったんでしょうか
とにかく解ければ何でもいいんです。自分に合ったわかりやすい方法がbest。
図形でやってみた。σ(^_^)
CP=x、AP=yとおくと、AR=y、BR=BQ=1-y
△ABCの面積=BC*AC/2=(x+y)(x-y+1)/2
△ABCの面積=PI*(AC+AB+BC)/2=x(x+y+1+x-y+1)/2
⇒ (x+1/2)²+(y-1/2)²=1/2 …①
AI²+BI²+CI²=(x²+y²)+2x²+(x²+(1-y)²)
=4x²+2(y-1/2)²+1/2
=2(x-1/2)²+1/2
①より、-1/√2-1/2≦x≦1/√2-1/2(というか円なので図示した方がわかりやすい)なので、
最小値はx=1/√2-1/2 の時、7/2-2√2 ＼(^O^)／
合否を分ける一問→×解けたら合格
→○解けないと不合格
データの記述問題が国公立2次でよく出るので、解く時の目のつけ方とかを解説していただきたいです！！
一対一対応やんけ
今日の、立教の文系数学に似たのでたー！！誘導ありきの
こんにちは！投稿お疲れさまです。中2ですが、東大に向けて頑張ってます！
さて、1:56の問題、停止して考えてましたが、初等幾何を使って解くことができました！(1)はピタゴラスの定理と余弦定理とsin^2(θ)+cos^2(θ)=1を使いました。(2)はtan(α+β)=1と(1)で求めたS=7/6を連立方程式にして解きました。僕的には(2)は「α≦βのときtan(α)、tan(β)の値を求めましょう。」のほうがしっくり来るんですが、まぁ出せって言われてるので、tan(α)+tan(β)も出しときました。(笑)
一般的な証明の場合は、相似により、長さを解答者を設定できる、というのも地味に重要じゃないですか？
悪い学校にいるクソガキ本当に駆逐したい。
二辺a、bって置いた
京大ってθ設定させるの好きだよなー
かわいいね
でも座標とかベクトルは計算量多いんだよな～
数学得意なのでどうしても初見ではエレガントに格好良く解こうとしてしまう自分が好き😅
内心が内接円の中心で合ってるか不安になって内心焦りました
長さが1の棒を立て掛けてるイメージだったからすんなり角度を変数に置けた
順像法と逆像法の問題やってほしい。
うーん、どうせ直角二等辺三角形！w
備忘録80G"【 翻訳能力テスト→ 適当な座標軸をとって、∠CAB＝ θ ( 0< θ <π/2 ) が上手い 】
A(cosθ, 0), B(0, sinθ), C(0,0), I( r, r ) と表すことができる。 内接円の半径 r は、
cosθ＋sinθ＝ 1＋2 r ⇔ r＝ 1/2 ･( √2 sin(θ＋π/4)－1 ) ･･･①
AI²＋BI²＋CI²＝ 6 r²－2 ( sinθ＋cosθ ) r ＋1 ＝ 6 r²－2 ( 1＋2 r ) r ＋1 ＝ 2 r²－2 r ＋1
＝ 2 ( r－1/2 )² ＋1/2 ①より、0< r ≦ ( √2－1 )／2 だから、r＝ ( √2－1 )／2 のとき、
( 最小値 )＝ ( 7－4√2 )／2 ■